Monotonie, Stetigkeit und Grenzwerte zur Differentialrechnung

Initiatoren des diesjährigen Hamburger MINT-Tages waren die Hamburger Schulbehörde sowie die Joachim-Herz-, die Körber- und die Nordmetall-Stiftung. Im Hamburger Abendblatt vom 16.11.2012 äußert der Leiter des Bereiches Wissenschaft in der Körber-Stiftung in der Nachlese des MINT-Tages hierzu: “Unsere Gesellschaft ist heute wie nie zuvor durchdrungen von Wissenschaft und Technik. Um selbstbewusst und selbstbestimmt in ihr zu leben, ist es wichtig, sie auch verstehen zu können.“

Hierzu ein Beitrag aus der Sicht des ABACUS–Nachhilfelehrers, dem die Vermittlung dieses Verständnisses von MINT-Fächern am Herzen liegt.

Im Verlaufe meiner mittlerweile mehrjährigen Beschäftigung ist erstmalig die Situation eingetreten, dass 80% der betreuten Schüler die Oberstufe erreicht haben. Damit ist der Zeitpunkt erreicht, dass das Tagesgeschehen im Mathematikunterricht von der Analysis, einem der „Sahnestückchen“ im Bereich der Schulmathematik bestimmt ist. Im Mittelpunkt der Analysis stehen Funktionen und deren Eigenschaften. Eine Funktion beschreibt die Abhängigkeit einer Systemgröße, zum Beispiel die Temperatur einer Wicklung in einem Elektromotor, von einer anderen Systemgröße, der Belastung dieses Motors.

Bevor es im Unterricht zu den eigentlich „heißen Tops“ dieser Disziplin kommt, werden die bereits bis zur Sekundarstufe I behandelten Funktionen wiederholt.

Dabei werden neue Begriffe wie etwa die Monotonie von Funktionen eingeführt. Das mag zunächst „bremsend“ wirken, ist dieser Begriff doch prinzipiell negativ belegt. Aber siehe da: In der Mathematik ist das monotone Verhalten einer Funktion ein positives Kriterium. Steigt in unserem vorerwähnten Beispiel des Elektromotors die Temperatur mit zunehmender Belastung monoton, dann gehört sehr verlässlich zu einer höheren Belastung ein höherer Temperaturwert. Entsprechendes gilt für monoton fallende Funktionen.

Des Weiteren ist in dieser Anfangsphase der Analysis von der Stetigkeit der Funktionen die Rede. Eine stetige Funktion ist für alle Werte in einem spezifizierten Bereich existent und weist keine Sprünge auf. Knicke sind allerdings bedingt erlaubt. Und damit kommen wir nun zu dem ersten spannenden Zentralthema der Analysis.

Hier geht es um die Frage: Mit welcher Steilheit verändern sich die Werte einer Funktion in Abhängigkeit von der unabhängigen Funktionsvariablen. Um auf unser Beispiel des Elektromotors zurück zu kommen: Wie verläuft also die Steigung (in °C/kW) der Temperaturkurve T = f(P)?

Im ersten Schritt, wie es auch im Mathematikunterricht vorgestellt wird, wählt man zwei benachbarte Belastungspunkte und berechnet den Mittelwert des Anstieges Tm aus der Temperaturdifferenz ΔT bei der zugehörigen Belastungssänderung ΔP:

Tm = ΔT / ΔP. (1)

Im Schulbuch heißt das „Sekantensteigung“, weil das die Steigung der Geraden ist, die die Temperaturkurve in den beiden betrachteten Belastungspunkten schneidet. Dann kommt der eigentliche „Knüller“, nämlich die Frage: Wie groß ist die Steigung der Temperaturkurve T = f ( P ) in jedem Belastungspunkt P. Hier geht es also um die „Tangentensteigung“, und das ist die erste Kernaufgabe der Differentialrechnung.

Der Weg hierhin führt über die Grenzwertbetrachtung der vorerwähnten Beziehung über die mittlere Erwärmung Tm. Wenn man nämlich bei festgehaltenem Wert P das Intervall ΔP immer mehr verkleinert, dann kommt die Sekantensteigung immer näher der gesuchten Tangentensteigung der Funktion T = f ( P ) beim Wert P. Stetigkeit dieser Funktion vorausgesetzt gilt dann: Wenn im Grenzfall das Belastungsintervall zu Null wird, dann gilt für die Tangentensteigung, oder die erste Ableitung f ´(T) – wie man sagt – der Temperaturkurve lim Tm = lim ΔT / ΔP =  f ´( T ) = dT / dP. (2)

Das Wort „Limes / Grenzwall“ kennen wir aus dem Latein-Unterricht und der Lektüre von Caesar´s „De bello Gallico“. In der Mathematik meint es: Ermittle den Grenzwert eines Termes für – wie im vorliegenden Beispiel – ΔP → 0.

Aus dem Differenzenquotienten in Gleichung (1) wird der Quotient der Differentiale dT und dP in Gleichung (2); er beschreibt die Steigung f´(P) der Funktion f = ( P ) zu jedem Wert P.

In zahlreichen Gesetzen und Beziehungen der Physik finden wir neben den Prozess- und Systemgrößen selbst auch deren Ableitungen, wobei nicht nur die ersten sondern gegebenen falls auch die höheren Ableitungen vorkommen. Derartige Gleichungen nennt man folgerichtig Differentialgleichungen. Sie bilden die Basis für die mathematischen Modelle von Systemen und Prozessen, mit denen deren Verhalten simuliert, dass heisst berechnet werden kann. Die Lücke zwischen dem Wissen über die Kerngebiete der Analysis aus der gymnasialen Oberstufe und den Kenntnissen, die der Systemingenieur bei der Analyse von Prozesseigenschaften benötigt, wird üblicherweise auf der Universität oder den Hochschulen geschlossen. Aber eines ist klar: Mit dem in der Oberstufe unserer Schulen vermittelten Basiswissen stehen die Türen offen, sich in dieser „aufregenden“ Welt der Technik ein berufliches Betätigungsfeld zu erarbeiten, das Spaß macht, hoch angesehen ist und zu allen Zeiten gut bezahlt wurde.

Vor allem aus diesem Grunde befindet sich der mit MINT-Fächern befasste ABACUS–Nachhilfelehrer im vollen Einklang mit dem oben erwähnten Hamburger Tageblatt, wenn es – wie kürzlich wieder geschehen – im Wirtschaftsteil (Ausgabe 9.11.12) titelt: „Begeisterung für Technik wecken“

Eine wichtige Botschaft dieses Artikels ist, dass die im Großraum Hamburg Lernenden und Studierenden ihre großen Chancen direkt vor der Tür finden: „Die Hansestadt Hamburg ist der drittgrößte Luftfahrtstandort der Welt“. Der Schiffbau einschließlich seiner hoch kompetenten Zulieferindustrie, namhafte Unternehmen des Maschinenbaus und der Elektrotechnik – vor allem auch im Mittelstand – und viele andere Techniksparten sind hier vertreten. Alle brauchen dringend MINT-Kompetenz und bieten Arbeitsplätze für gut Qualifizierte. Worauf wartet Ihr noch, liebe Schülerinnen und Schüler?