Mathe Nachhilfe zur Analysis

Mathe-Thema Analysis: Bundesweit wurden ab Mitte Mai in den Oberstufen die Abschlussklausuren in den Hauptfächern, unter anderem in Mathematik, geschrieben.

In der Oberstufe ist ein Themenkreis neben der Stochastik und der analytischen Geometrie die Analysis, das die Oberstufenschülerinnen und -schüler vor allem in den Klausuren der 12. und 13. Klasse und natürlich in den Abschlussklausuren „auf Trab“ hält.

Im Gegensatz zu häufig geäußerten Ansichten handelt es sich hierbei nicht um ein „Gedankending“ übereifriger Denksportler. Es ist ja leider eine Crux in allen Naturwissenschaften und bei vielen Mathelehrern an Schulen, dass es häufig nicht gelingt, den Lehr- und Lernstoff in einen lebendigen Zusammenhang zu der Welt, in der wir leben, zu bringen. Geht es doch darum aufzuzeigen, in welchen Bereichen wir diese Methoden dringend brauchen und nutzbringend anwenden müssen, um wichtige Vorgänge zu verstehen und beherrschen zu können.

Analyse und Synthese sind die klassischen Grundelemente strukturierter Denkprozesse. Bei der Analysis im mathematischen Sinne geht es um Methoden zur Untersuchung von Funktionsverläufen verschiedenster Art:

• Wie verändert sich eine Prozessgröße, zum Beispiel eine Temperatur in einem Kühlprozess
• oder die Drehzahl eines Antriebssystems als Funktion der Zeit im ungestörten Zustand und unter dem Einfluss einer Störgröße?
• In wieweit ist eine physikalische Zustandsgröße, zum Beispiel das Magnetfeld, das unsere Erde umgibt, in ihrem Verlauf und ihrer Größe abhängig vom Ort auf der Erdoberfläche, an dem ich diese Größe messe?
• Wie viel Liter Wasser wird eine Quelle in den nächsten 10 Jahren spenden, deren „Quellstärke“ in Litern / Minute als Funktion der Zeit aus Messungen bekannt ist?

Die Analysis bietet für derartige Aufgabenstellungen vor allem zwei Basismethoden:

Die erste ist das Differenzieren von Funktionen oder – wie es im Deutschen heißt – das Bilden der Ableitung der Funktion, die Auskunft über den Verlauf der Steigung der ursprünglichen Größe gibt.

Mit dieser Methode finden wir auf einfache Weise die Höhen und Tiefen einer Zustandsgröße, also die Extremwerte heraus, in denen die Steigung naturgemäß Null ist. Diese Methode erlaubt es uns auch, Wendepunkte im Verlauf der Zustandsgröße zu identifizieren.

Schließlich können wir auch weit reichende Tendenzenin der Entwicklung von Zustandsgrößen erkennen. Die sog. Grenzwertermittlung im Zusammenhang mit der Methode des Differenzierens ermöglicht eine Aussage darüber, welchen Grenzwert eine Zustandsgröße erreichen wird, wen wir unseren Betrachtungsbereich (zeitliche oder räumliche Erstreckung) über alle Maßen steigern.

Die zweite Methode ist das Integrieren von Funktionen oder – wie es im Deutschen heißt – das Ermitteln von Flächeninhalten unter dem Verlauf einer Funktion in der grafischen Darstellung. Mit diesem Werkzeug können wir zum Beispiel die Fördermenge einer Pumpenanlage mit bekannter Fördercharakteristik über verschiedene Zeiträume ebenso bestimmen wie die gespendete Wassermenge der vorerwähnten Quelle im Verlauf der Jahre. Flächeninhalte von geometrischen Strukturen mit Grenzkonturen, die durch mathematische Funktionen gegeben sind, können mit Hilfe der Integration ebenso ermittelt werden wie Volumina von Rotationskörpern mit schwungvollen, mathematisch darstellbaren Außenkonturen.

Die spannende Erkenntnis, die wir beim Studium der Analysis und ihrer Methoden zudem noch gewinnen, ist die, dass sich Differentiation und Integration – vereinfachend ausgedrückt – „gegenseitig aufheben“: es sind so genannte inverse Operationen. Diese Eigenschaft und die Anwendung der beiden Methoden soll an einem einfachen Beispiel, das uns allen geläufig ist, erläutert werden:

Betrachten wir ein Fahrzeug und seine Bewegung in der Zeit.

Die kennzeichnenden Größen sind die Beschleunigung des Fahrzeuges, seine Geschwindigkeit und die Wegstrecke, die das Fahrzeug unter dem Einfluss dieser Größen zurücklegt. Die Geschwindigkeit gibt an, welche Wegstreckendifferenz das Fahrzeug im zugehörigen Zeitintervall zurücklegt: zum Beispiel 100 km in einer Stunde.

Die Geschwindigkeit ist demnach die erste Ableitung des Weges nach der Zeit und beträgt im Beispiel im Mittel 100 km/h. Anderseits ist im Sinne dieses inversen Verhältnisses von Integration und Differentiation die im Zeitintervall zurück gelegte Wegstrecke das Integral über die Geschwindigkeit.

In entsprechender Weise verhält es sich mit der Beschleunigung. Sie tritt nur auf, wenn sich die Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitabschnitt ändert. Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Ist andererseits die Beschleunigung in einem Zeitabschnitt bekannt, so kann man durch Integration über die Beschleunigung die Geschwindigkeit in diesem Zeitintervall ausrechnen.

Wie heißt es unter anderem bei WIKIPEDIA zu Recht: „Die Methoden der Analysis sind in allen MINT-Fächern von großer Bedeutung“. Also kein gehobener Denksport, sondern nützliches Werkzeug, welches dann zum Beispiel durch professionelle Mathe-Nachhilfe plastisch und anschaulich nahe gebracht werden kann.