in der Sekundar- und Oberstufe – Ursachen und “Folgeschäden“
Zu den im Curriculum der Sekundarstufe bundeseinheitlich festgelegten Arbeitsgebieten im Fach Mathematik gehört die Ganzrationale Funktion 2. Ordnung – auch quadratische Funktion genannt – deren Graph als Parabel bekannt ist.
Die Kenntnisse über dieses wichtige Teilthema der Schulmathematik sind in der MSA -Prüfung nachzuweisen. Sie sind wesentliche Voraussetzung für das Verständnis des Stoffes und die Lösung von Aufgaben im Bereich der Oberstufen-Mathematik (Analysis / Analytische Geometrie). Um die Nullstellen einer derartigen Funktion zu ermitteln, muss die Lösung einer quadratischen Gleichung beherrscht werden. Auf der Basis des mathematischen Wissens, das den Schülerinnen und Schülern bis zu diesem Zeitpunkt vermittelt wurde, gibt es im Falle der Funktion 2. Ordnung maximal zwei, gegebenenfalls keine Lösung.
Die Aufgabenstellung könnte etwa lauten:
Gesucht sind zwei Zahlen x1 bzw. x2, die in der Summe die Zahl 10 und als Produkt die Zahl 40 ergeben. Die aus diesem Text herleitbaren Bestimmungsgleichungen lauten demnach:
(1) x1 + x2 = 10 und (2) x1* x2 = 40
Dieser Ansatz führt zu der quadratischen Gleichung:
(3) x² – 10x + 40 = 0
Mit Hilfe der Formel, die die Schülerinnen und Schüler zur Lösung dieser Gleichung im Schulunterricht gelernt haben ( p – q – Formel ), gewinnt man die Lösungsterme:
(4) x1 = 5 + und (5) x2 = 5 – )
Da der Radikand (die Diskriminante) negativ ist – so wurde es im Rahmen des Schulunterrichtes gelehrt – gibt es keine Lösung, weil es keine Zahl gibt, die quadriert einen negativen Wert hat (“Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen!“).
Diese Aussage gilt aber nur für die Reellen Zahlen. Und nur diese kennt die Schülerin und der Schüler auf Grund der Festlegung der mathematischen Curricula für unsere Schulen.
Auf die erlernte Weise findet man so also keine reellen Zahlen, die die Bestimmungsgleichungen (1) und (2) erfüllen.
Erweitert man jedoch die die Reellen Zahlen um die Komplexen Zahlen, mit denen Mathematiker bereits um die Mitte des 16. Jahrhunderts gerechnet haben und die ihren Namen 1831 von Carl Friedrich Gauß erhielten, dann gibt es sehr wohl Lösungen dieser Aufgabenstellung.
Hierzu bedurfte es einer neuen Zahl i, die die Eigenschaft i² = – 1 hat. Man nennt i die imaginäre Einheit. Mit ihrer Hilfe hat eine Komplexe Zahl z die Form:
z = u + v*i,
wobei u und v Reelle Zahlen sind.
Für die so definierten Komplexen Zahlen, die dann nicht mehr – wie die Reellen Zahlen – auf dem eindimensionalen Zahlenstrahl, sondern in der Gaußschen Ebene als zweidimensionale Vektoren dargestellt werden, gelten grundsätzlich die gleichen Rechenregeln wie für die Reellen Zahlen.
Mit der so festgelegten neuen Zahl i lassen sich die Lösungsansätze (4) und (5) wie folgt umformen:
(4a) x1 = 5 + * i und (5a) x2 = 5 – * i
Daraus folgt unmittelbar:
x1 + x2 = 10 und x1 * x2 = ( 5 + * i) * ( 5 – * i)
und nach weiterer Umformung mit Hilfe der 3. Binomischen Formel:
x1 * x2 = ( 25 – 15 * i² ) oder mit i² = -1
x1 * x2 = 40.
In der Oberstufen-Mathematik müssen bei den Funktionsanalysen in der Analysis häufig Nullstellen von ganzrationalen Funktionen höherer Ordnung (zum Beispiel 3. oder 4. Ordnung) ermittelt werden.
Im Regelfalle wird der Taschenrechner zu Hilfe genommen, weil auch die hierfür erforderlichen Lösungsverfahren nicht zum Unterrichtsprogramm in den Schulen gehören. Die in der Schule eingeführten Taschenrechner bieten Lösungsprogramme an, wobei die Struktur der ganzrationalen Funktion üblicherweise bis zur 3. oder 4. Ordnung vorgegeben ist. Die Schülerin / Schüler muss für die ausgewählte Funktion die Koeffizienten der einzelnen Terme der Reihe nach eingeben und schließlich auf die Ergebnistaste drücken. Im Display des Rechners können die Lösungen aufgerufen werden. Dabei werden die reellen Lösungen angezeigt, so es welche gibt, aber natürlich auch die komplexen Lösungen. Damit aber können die Schülerinnen und Schüler nichts anfangen.
In der Überschrift zu diesem Beitrag hatte ich die Frage nach dem “Warum“ gestellt.
Die Antwort ist ja bereits gegeben: Weil in den allgemeinbildenden Schulen die Existenz der Komplexen Zahlen verschwiegen wird. Es ist dem Autor, dem es in dieser Hinsicht in seiner gymnasialen Schulausbildung deutlich besser ging, nicht gelungen herauszufinden, wann das Lehrgebiet aus den Curricula der Oberstufenmathematik in den Schulen verschwunden ist.
Was aber sind die “Folgeschäden“? Die komplexen Zahlen sind unverzichtbares Werkzeug für die Bearbeitung von zentralen Themen in vielen Bereichen der Naturwissenschaft und der Ingenieurswissenschaften. Das Studium der Elektrotechnik beispielsweise ist in allen denkbaren Varianten nicht möglich ohne die detaillierte Kenntnis und die gesicherte Handhabung der Komlexen Zahlen. Das Gleiche gilt für Arbeitsgebiete wie die Quantenmechanik und die Materialwirtschaft.
In meinem letzten Beitrag hatte ich mich dazu bekannt, dass es der gesellschaftliche Auftrag an unsere Schulen ist, ein möglichst breites Ausbildungsspektrum abzudecken. Ziel muss, sein dass “jede Schülerin und jeder Schüler zum Abschluss seiner Schulausbildung bestmöglich darauf vorbereitet ist, die angestrebte Berufsausbildung reibungslos zu starten und erfolgreich zu abzuschließen.“ (Zitat).
Hier spielt auch der von mir im bereits zitierten Beitrag aus dem Juni 2023 verwendete Begriff der „Solidarität“ eine Rolle, die unser Ausbildungssystem erfordert, was hier bedeutet: Den mehrheitlichen Bedarf im Ausbildungsplan zu Ungunsten des eher speziellen Bedarfes akzeptieren.
Bei Recherchen im Internet entdeckte der Autor dieser Zeilen Hinweise darauf, dass an verschiedenen Schulen das Thema “Komplexe Zahlen“ im Rahmen von Leistungskursen behandelt wird, Als Beispiel soll eine Facharbeit im Leistungskurs eines Münchner Gymnasiums zitiert werden, die im Januar 2005 von dem Autor Ludwig Irgno erstellt wurde.
Vielleicht ein erfreuliches Zeichen dafür, dass sich die Auftraggeber dieser Facharbeit der hier bestehenden Lücke im Lehrplan bewusst sind!
Der Autor legt großen Wert darauf, mit diesem Beitrag nicht falsch verstanden zu werden:
Dies ist kein Plädoyer für “mehr Stoff “ im Mathematikunterricht, sondern für die zielführend richtige Zusammenstellung des Stoffes im Sinne dieser “bestmöglichen Vorbereitung auf angestrebte Berufsausbildungen:“
Und es besteht aus Sicht des Autors ein erhebliches Potential für Streichungen im bestehenden Lehrstoffplan der Schulmathematik zu Gunsten der Komplexen Zahlen.
